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单相正弦交流电路

书籍：简明电工计算手册

出处：按学科分类—工业技术江苏科学技术出版社《简明电工计算手册》第136页（11897字）

1．纯电阻电路

图2－40为纯电阻电路及其相量图。

图2—40 纯电阻电路及其相量图

(1)电流与电压的关系

瞬时值表达式为：

最大值表达式为：

式中 U_Rm——负载两端电压的最大值(V)；

I_m——电路中电流的最大值(A)。

有效值表达式为：

式中 U_R——负载两端电压的有效值(V)；

I——电路中电流的有效值(A)。

相量表达式为：

式中 ——负载两端电压的复量(V)；

——电路中电流的复量(A)。

上述各式表明、电流与电压的频率相同；电流与电压的相位相同，如图2－40(b)所示；电流与电压的数量关系仍符合欧姆定律。

(2)电功率及电能的计算

瞬时功率：

p_R=u_R·i=U_RI－UIcos2ωt (2－100)

有功功率：

电能：

式中 p_R——瞬时功率(W)，瞬时功率是恒定分量U_RI和交变分量之和；

P_R——有功功率(W)，有功功率等于最大瞬时功率的一半；

W——电能(J)。

［例2－30］已知一白炽灯工作时的电阻为484Ω，其两端加有的正弦电压为u=311sin314t(V)，试求：①电流有效值，并写出电流瞬时值解析式；②白炽灯的有功功率。

［解］ ①由u=311sin314t(V)可知，正弦电压的有效值为

则正弦电流的有效值为

又因白炽灯可视为纯电阻，电流与电压同相，所以正弦电流瞬时值的解析式为

②由有功率公式可求白炽灯的有功功率为

2．纯电感电路

图2－41为纯电感电路及其相量图。

图2－41 纯电感电路及相量图

(1)电流与电压的关系

瞬时值表达式为：

最大值表达式为：

式中 X_L——感抗，X_L=ωL=2πfL(Ω)。

有效值表达式为：

相量表达式为：

纯电感电路中，电流与电压频率相同；相位上，电压超前电流90°，自感电动势滞后电流90°，如图2－41(b)所示；电流与电压的有效值或最大值之间的数量关系符合欧姆定律。由于电流与电压的相位不同，所以电流与电压的瞬时值之间的数量关系不符合欧姆定律，即感抗X_L只代表电流与电压的有效值或最大值的比值，而不代表电流与电压的瞬时值的比值。

对直流电来说，由于f=0，则X_L=0，即电感L对直流电没有阻碍作用。

(2)电功率及磁场能的计算

瞬时功率：

P_L=U_L·Isin2ωt (2－109)

有功功率：

P_L=0 (2－110)

无功功率

磁场能

式中 Q——无功功率(W)，必须指出，“无功”的含义是“交换”而不是“消耗”，它是相对“有功”而言的，决不能理解“无用”。具有电感性质的变压器，电动机等设备都是靠电磁转换工作的，因此，若无功率，这些设备就无法工作；

W_L——磁场能(J)。

［例2－31］设有一电阻可以忽略的线圈接在正弦交流电源上，已知，线圈的电感量L=0．7H。

求：①写出流过线圈的电流的瞬时值表达式；②电路的无功功率；③作电流和电压的相量图。

［解］ ①流过线圈的电流的瞬时值表达式为：

φ_u=30°，又电流滞后电压90°，所以

②无功功率

Q_L=U·I=220×1

=220(W)

③电流和电压的相量图如图2－42所示。

图2－42

3．纯电容电路

图2－43为纯电容电路及相量图。

图2－43 纯电容电路及相量图

(1)电流与电压的关系

瞬时值表达式为：

最大值表达式为：

式中 XC——容抗，

有效值表达式为：

相量表达式为：

纯电容电路中，电流与电压频率相同，相位上，电压滞后电流90°，如图2－43(b)所示；电流与电压的有效值或最大值之间的数量关系符合欧姆定律。由于电流与电压的相位不同，所以电流与电压的瞬时值之间的数量关系不符合欧姆定律，即容抗X_C只代表电流与电压的有效值或最大值的比值，而不代表电流与电压的瞬时值的比值。

对直流电来说，由于f=0，则X_C=∞，即电容C具有隔直流的作用。

(2)电功率和电场能的计算

瞬时功率：

p_C=U_CIsin2ωt (2－119)

有功功率：

P_C=0 (2－120)

无功功率：

电场能：

式中 W_C——电场能(J)。

［例2－32］已知某电容电路两端所加的正弦交流电压为，电容量C=20μF，求：①写出流过电容的电流的瞬时值表达式；②电路的无功功率；③作电流和电压的相量图。

［解］ ①流过电容的电流的瞬时值表达式为：

φ_u=30°，又电流超前电压90°，所以

②无功功率

Q_C=UI=220×1．375≈303(W)

③电流和电压的相量图如图2－44所示。

图2－44

4．电阻、电感、电容串联的正弦交流电路

图2－45是R、L、C串联的正弦交流电路。

图2－45 R、L、C串联的正弦交流电路

(1)电流与电压的关系

(2)复数阻抗的计算

Z=R+_j(X_L－X_C) (2－129)

模：

阻抗角(电压与电流的相位差)：

φ角的大小与正负取决于X_L、X_C与R的数值。下面分三种情况说明：

①当X_L＞X_C时，tanφ＞0，φ＞0，总电压U超前电流I，电路呈感性。

②当X_L＜X_C时，tanφ＜0，φ＜0，总电压U滞后电流I，电路呈容性。

③当X_L=X_C时，tanφ=0，φ=0，总电压U与电流I同相，电路呈阻性。

(3)电功率的计算

瞬时功率：

p=UICosφ－UIcos(2ωt+φ) (2－132)

有功功率：

P=UIcosφ=U_R·I=I²·R (2－133)

无功功率：

Q=UIsinφ=I(U_L－U_C)=I²(X_L－X_C) (2－134)

视在功率：

式中 S——视在功率(W)。

［例2－33］在图2－45中，已知R=2Ω，L=160mH，C=66μF，加在电路两端的交流电压的有效值U=220V，频率f=400Hz。求①电路的阻抗；②电路的电流；③各元件两端的电压；④电路的P、Q、S；⑤电路的性质。

［解］ ①电路的阻抗

②电路的电流

③电阻R、电感L及电容C上的电压

U_R=I·R=0．56×2=1．12(V)

U_L=IX_L=0．56×402=225．12(V)

U_C=I·X_C=0．56×6=3．36(V)

④电路的有功功率P、无功功率Q及视在功率S

P=U_R·I=1．12×0．56≈0．63(W)

Q=(U_L－U_C)·I=(225．12－3．36)×0．56

≈124．19(W)

S=UI=220×0．56=123．2(W)

⑤电路的性质

因为：

所以电路呈感性。

［例2－34］已知电阻R=30Ω，电感L=382mH，电容C=40μF组成的串联电路，接于电源电压V的电源两端。用相量法求，并画相量图。

由得

则

相量图如图2－46所示。

图2－46 例2－34的相量图

5．电阻、电感、电容并联的正弦交流电路

图2－47是R、L、C并联的正弦交流电路。

图2－47 R、L、C并联的正弦交流电路

(1)电流和电压的计算

式中 Z——并联电路的等效复阻抗。

Z与Z₁、Z₂的关系为：

对于有n条支路并联的电路，其等效复阻抗Z与各支路复阻抗的关系为：

(2)复导纳的计算

复数阻抗的倒数叫复导纳，用符号Y表示，其数学表达式为：

式中 Y——复导纳(西门子，用符号S表示)；

R——电阻(Ω)；

Z——复阻抗(Ω)；

｜Z｜——复阻抗的模(Ω)；

G——电导，即复导纳Y的实部(S)；

B——电纳，即复导纳Y的虚部(S)；

X——电抗(Ω)；

X_L——感抗(Ω)；

X_C——容抗(Ω)；

｜Y｜——复导纳的模(S)；

φ′——导纳角，即复导纳Y的辐角。

将复导纳与复阻抗对比

复导纳的模等于对应复阻抗模的倒数，即：

导纳角等于对应阻抗角的负值，即：

φ′=－φ

(3)电功率的计算

同R、L、C串联正弦交流电路电功率的计算。

［例2－35］在图2－47中，已知R₁=30Ω，R₂=8Ω，X_L=40Ω，X_C=6Ω，电源电压，求该电路的分支电流I₁、I₂和总电流I，并作相量图。

相量图如图2－48所示。

图2－48

［例2－36］在图2－49中，已知u=424sin5000tV，R₁= 10Ω，R₂=13Ω，R₃=2Ω，C=20μF，L=4mH，求总电流i及电压u_cb。

图2－49

超前说明整个电路呈容性。

6．谐振电路

在具有电感和电容的电路中，如果电流和电压达到同相位，则电路会产生谐振现象，处于谐振状态的电路称为谐振电路。

(1)串联谐振

在R、L、C串联电路中，当X_L=X_C时，电流与电压同相位，这种现象称为串联谐振。

①谐振条件。

式中 f——电源频率(Hz)；

f₀——谐振频率，又称电路的固有频率(Hz)。谐振频率取决于电路参数L与C的数值，若L与C为定值时，调节电源频率使它与电路的固有频率相等，电路就发生谐振。反之若电源频率一定时，调节L和C的大小，使电路的固有频率等于电源频率时，电路也能发生谐振。收音机的输入调谐电路，就是通过改变C的大小，来选不同频率的广播电台的串联谐振电路。

②串联谐振电路具有的特点。

a．串联谐振时，电路的阻抗最小，且呈阻性。此时电路中的电流为最大。

串联谐振阻抗为：